Родился 16 октября 1961 года в Москве, родители — инженер Лев Наумович Хавтан (21.12.1931—2002) и учительница английского и немецкого языков Этя Мееровна Хавтан (урождённая Спектор; 8 августа 1937, Шаргород — 19 февраля 2018). Мать во время войны была с семьёй заключена в Шаргородское гетто в Транснистрии (её отец погиб на фронте), о чём написала книгу мемуаров (2004). Детство и юность прожил в московском районе Кузьминки, которому впоследствии посвятил песню «От Таганки до Кузьминок» (альбом «Мода»). Играть на гитаре начал в школьном возрасте, под влиянием общей моды. Окончил музыкальную школу по классу классической шестиструнной гитары. Его учителем была Светлана Анатольевна Дегтева. Поклонник самой разной музыки — от «новой волны» британского рока до классических американских рок-н-роллов 50-х годов, с начала 1980-х стал одеваться и выглядеть как стиляга. Окончив школу, поступил в Московский институт инженеров железнодорожного транспорта.
Начало музыкальной карьеры Евгения началось в ВИА «Редкая птица», где также играли Сергей Галанин и Алексей Аедоницкий. В 1982 году Хавтан, будучи уже опытным гитаристом, принял приглашение группы Гарика Сукачёва «Постскриптум». Однако сильные различия в увлечениях, стиле и профессионализме музыкантов привели к тому, что «Постскриптум» после этого практически распался. Тогда Хавтан привёл в группу новых музыкантов и вместе с барабанщиком «Постскриптума» Павлом Кузиным создал свой коллектив, играющий смесь «новой волны» и рока 50-х—60-х годов.
Состав новой группы, ещё не имевшей названия, был укомплектован саксофонистом Александром Степаненко, басистом Андреем Конусовым и вокалисткой Ивонной Андерс (настоящее имя Жанна Агузарова). После одного из самых первых выступлений, прошедшего в декабре 1983 на дискотеке в комплексе «Крылатское», группа решает оставить себе название «Браво». Кстати, название группы придумала подруга Жанны Агузаровой. После одного из посещений Большого театра девушка подумала, что традиционные театральные крики «Браво» — неплохое имя для коллектива. Музыканты согласились, что её предложение лучше придуманных ими вариантов — «Твист», «Шейк» или «КВН». Официальной регистрации у новой команды не было и быть не могло, поэтому выступали они подпольно. 18 марта 1984 года после одного из таких выступлений на тогдашней окраине Москвы в районе Бескудниково во Дворце Культуры «Мосэнерготехпром» участники были задержаны за «нелегальную предпринимательскую деятельность» (так как все доходы от билетов не декларировались). Против музыкантов было возбуждено уголовное дело, а Хавтан был отчислен из института. В процессе следствия выяснилось, что паспорт Жанны был поддельным, и после пребывания в «Матросской Тишине» Жанна была выслана из Москвы в Сибирь. Спустя несколько лет уголовное дело было закрыто «за неимением доказательств», и группа вступила в Московскую рок-лабораторию, созданную по аналогии с Ленинградским рок-клубом. Но пробыла в её составе совсем недолго, так как после победы в фестивале Рок-панорама-86 в «Центральном Доме Туриста» в номинации «Открытие фестиваля» была приглашена на профессиональную работу в Московскую областную филармонию. После череды отчислений и восстановлений Хавтан в 1987 всё-таки окончил институт, и на следующий день после получения диплома о высшем образовании уехал с «Браво» на гастроли.
В дальнейшем «Браво» претерпело многочисленные изменения состава, Хавтан оставался единственным неизменным участником группы и автором музыки (а временами и слов) подавляющего большинства песен. После многочисленных смен вокалистов Хавтан начал петь часть песен сам, разделяя обязанности вокалиста с Робертом Ленцем.